GEOMETRI EUCLID (proposisi 6)

"jika dua sudut dalam sebuah segitiga besarnya sama, maka sisi-sisi yang berhadapan degan sudut tersebut panjangnya juga sama"

untuk menambah pemahaman kalian. Adapun langkah langkah pembuktian proposisi 6 sesuai vidio di bawah ini

Sumber :

catatan perkuliahan mata pelajaran geometri euclid Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

GEOMETRI EUCLID (proposisi 5)

''dalam segitiga sama kaki sudut-sudut alas besarnya sama dan jika kedua kakinya di perpanjang maka sudut-sudut di bawah alas juga sama besar"

sumber :

catatan perkuliahan mata pelajaran Geometri Euclid Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

TEORI BILANGAN (induksi matematik)

induksi matematik merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraannya himpunan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli. Perhatikan contoh pernyataan-pernyataan matematik berikut ini. 

Contoh 1: 1 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n (n + 1)  , untuk setiap bilangan asli n. 

Benarkah pernyataan ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita dapat mencoba dengan mensubstitusikan n dalam pernyataan itu dengan sembarang bilangan asli. 

Apabila n = 1 maka pernyataan itu menjadi 1 = 1/2. 1(1 + 1), atau 1 = 1  , yaitu diperoleh suatu pernyataan yang benar. 

Apabila n = 2 maka pernyataan itu menjadi 1 + 2 =1/2 . 2(2 + 1), atau 3 = 3  , yaitu diperoleh suatu pernyataan yang benar. 

Apabila n = 3 maka pernyataan itu menjadi 1 + 2 + 3 =1/2 . 3(3 + 1), atau 6 = 6  , yaitu suatu pernyataan yang benar pula. 

Lalu bagaimana cara membuktikan pernyataan tersebut? Salah satu caranya ialah memandang ruas pertama dari pernyataan itu sebagai deret aritmetika dengan suku pertama a = 1, bedanya b = 1, suku terakhirnya ialah Un = n dan memiliki n buah suku. Maka, jumlah deret itu adalah 

Sn    =1/2 n (a + Un ) 2 1 

        = 1/2 n (1 + n)  

        = 1/2 n (n + 1), yaitu ruas kedua dari pernyataan yang dibuktikan. 

Cara lain untuk membuktikan pernyataan itu adalah dengan induksi matematik. Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah sebagai berikut. Misalkan, p(n) adalah suatu proposisi yang akan dibuktikan benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematik sebagai berikut: Langkah (1) : Ditunjukkan bahwa p(l) benar. Langkah (2) : Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar. Jika langkah-langkah (1) dan (2) berhasil ditunjukkan kebenarannya maka selanjutnya disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Mengapa demikian? Langkah (1), yaitu p(l) benar, dan karena langkah (2) maka p(2) benar pula. Selanjutnya karena p(2) benar, menurut langkah (2) maka p(3) benar pula. Dan menurut langkah (2) lagi maka p(4) benar pula, dan seterusnya sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah (1) di atas sering disebut basis (dasar) induksi, dan langkah (2) disebut langkah induksi.

untuk memperdalam pemahaman mengenai induksi matematik di bawah ini telah di sediakan vidio pembelajaran dengan tujuan menambah pengetahuan

sumber :

catatan perkuliahan mata pelajaran teori bilangan Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

GEOMETRI EUCLID (definisi pada lingkaran)

1. Lingkaran yang sama adalah (lingkaran) yang diameternya sama, atau yang (jarak) dari pusat (keliling) sama (yaitu, yang jari-jarinya sama).
2. Garis lurus yang dikatakan menyentuh sebuah lingkaran adalah sembarang garis lurus yang menghasilkan lingkaran, tidak memotong lingkaran.
3. Lingkaran yang dikatakan saling menyentuh adalah setiap lingkaran yang, saling bertemu, tidak memotong satu sama lain.
4. Dalam sebuah lingkaran, garis-garis lurus dikatakan sama-sama jauh dari pusat ketika garis tegak lurus yang ditarik dari tengah sama.
5. Dan (garis lurus itu) dikatakan lebih jauh (dari pusat) tempat jatuh tegak lurus yang lebih besar (dari pusat).
6. Segmen lingkaran adalah sosok yang terkandung oleh garis lurus dan keliling lingkaran.
7. Dan sudut segmen adalah yang berisi garis-lurus dan keliling lingkaran.
8. Dan sudut dalam suatu ruas adalah sudut yang terkandung oleh garis lurus yang digabungkan, ketika titik diambil pada keliling ruas, dan garis lurus digabungkan dari itu ke ujung garis lurus yang merupakan dasar dari segmennya.
9. Dan ketika garis-garis lurus yang mengandung sudut memotong beberapa keliling, sudut dikatakan berdiri di atasnya (keliling).

sumber :

catatan perkuliahan mata pelajaran Geometri Euclid Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

GEOMETRI EUCLID (Titik, Garis, Sudut)

TITIK

• titik di simbolkan dengan noktah "."
• disimbolkan dengan huruf kapital, ex: .A, .B, .C
• titik itu tempat kedudukannya tunggal
• titik adalah tempat kedudukan suatu objek
• titik adalah bengun geometri yang tidak memiliki panjang dan lebar serta dimensinya nol

GARIS

• garis adalah bangun geometri yang hanya memiliki panjang tidak memiliki lebar
• garis terbagi mejadi dua yaitu garis lurus dan garis lengkung 
• di simbolkan dengan huruf kecil
• ada macam-macam garis, yaitu : segmen garis adalah garis yang di batasi oleh 2 titik, garis yang melalui titik A dan B, sinar / vektor

SUDUT

• titik sudut
• pojok/ area sekitar sudut
• besar sudut

sumber :

catatan perkuliahan mata pelajaran Geometri Euclid Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

TEORI BILANGAN (Sistem Bilangan Bulat)

Bilangan kompleks (ai + b), dibagi menjadi dua :

1. bilangan real (a,b), terdiri dari :

• bilangan irasional : a/b, dimana b tidak sama dengan 0. (tidak berulang) 
• bilangan rasional  : a/b, dimana b tidak sama dengan 0. (berpola). terdiri dari :

- bilangan bulat {....,-1,0,1,....}. di bagi menjadi bilagan bulat negatif {-1,-2,-3,-4,.....},               bilangan cacah {0,1,2,3,4,....}, bilangan bulat positif (bilangan 1, bilangan prima                 {2,3,5,7,...}, bilangan komposit {4,6,8,10,...}), bilangan 0, bilangan desimal {0,5 ; 0,4;....} 

-  bilanngan pecahan {1/2, 3/6, 2/5,....}

 

       2. bilangan imajiner (i)

 

adalah bilangan yang biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. secara definisi bilangan imajiner diperoleh dari penyelesaian kuadratik.

sumber :

catatan perkuliahan mata pelajaran teori bilangan Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka