TEORI BILANGAN (induksi matematik)

induksi matematik merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraannya himpunan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli. Perhatikan contoh pernyataan-pernyataan matematik berikut ini. 

Contoh 1: 1 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n (n + 1)  , untuk setiap bilangan asli n. 

Benarkah pernyataan ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita dapat mencoba dengan mensubstitusikan n dalam pernyataan itu dengan sembarang bilangan asli. 

Apabila n = 1 maka pernyataan itu menjadi 1 = 1/2. 1(1 + 1), atau 1 = 1  , yaitu diperoleh suatu pernyataan yang benar. 

Apabila n = 2 maka pernyataan itu menjadi 1 + 2 =1/2 . 2(2 + 1), atau 3 = 3  , yaitu diperoleh suatu pernyataan yang benar. 

Apabila n = 3 maka pernyataan itu menjadi 1 + 2 + 3 =1/2 . 3(3 + 1), atau 6 = 6  , yaitu suatu pernyataan yang benar pula. 

Lalu bagaimana cara membuktikan pernyataan tersebut? Salah satu caranya ialah memandang ruas pertama dari pernyataan itu sebagai deret aritmetika dengan suku pertama a = 1, bedanya b = 1, suku terakhirnya ialah Un = n dan memiliki n buah suku. Maka, jumlah deret itu adalah 

Sn    =1/2 n (a + Un ) 2 1 

        = 1/2 n (1 + n)  

        = 1/2 n (n + 1), yaitu ruas kedua dari pernyataan yang dibuktikan. 

Cara lain untuk membuktikan pernyataan itu adalah dengan induksi matematik. Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah sebagai berikut. Misalkan, p(n) adalah suatu proposisi yang akan dibuktikan benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematik sebagai berikut: Langkah (1) : Ditunjukkan bahwa p(l) benar. Langkah (2) : Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar. Jika langkah-langkah (1) dan (2) berhasil ditunjukkan kebenarannya maka selanjutnya disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Mengapa demikian? Langkah (1), yaitu p(l) benar, dan karena langkah (2) maka p(2) benar pula. Selanjutnya karena p(2) benar, menurut langkah (2) maka p(3) benar pula. Dan menurut langkah (2) lagi maka p(4) benar pula, dan seterusnya sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah (1) di atas sering disebut basis (dasar) induksi, dan langkah (2) disebut langkah induksi.

untuk memperdalam pemahaman mengenai induksi matematik di bawah ini telah di sediakan vidio pembelajaran dengan tujuan menambah pengetahuan

sumber :

catatan perkuliahan mata pelajaran teori bilangan Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka