TEORI BILANGAN (Kekongruenan)

Konsep dan sifat keterbagian dapat dipelajari secara lebih mendalam dengan relasi kekongruenan. Dengan menggunakan konsep kekongruenan, kita data menelaah sifat keterbagian secara luas dan mendalam sehingga lebih Nampak manfaatnya kekongruenan dan sifatnya diperlukan juga penguasaan konsep dan sifat keterbagian. Pengkongruenan linear yaitu kalimat terbuka yang melibatkan relasi kekongruenan.

Definisi 7.1

Jika m suatu bilangan positif maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis a ≡ b (mod m)) jika dan hanya jika m membagi (a-b) atau ditulis m (a-b). jika m tidak membagi (a-b) mak dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m (ditulis a b(mod m)).

Contoh 7.1.

a.       8 ≡ 4 (mod 2) sebab 2│(8-4) atau 2│4.

b.      14 ≡ -7 (mod 3) sebab 3│(14- (-7)) atau 3│21.

c.       -10 ≡ 20 (mod 5) sebab 5│(-10-20) atau 5│-30.

d.      12  6 (mod 4) sebab 4 (12-6) atau 4 6.

e.       8  -2 (mod 3) sebab 3  8 (-2) atau 3  10.

Teorema 7.1

Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu di antara 0, 1, 2, 3, …, (m-1).

Bukti:

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga a = mk +b. Jika a dan m bilangan bulat dan m > 0, maka a  dinyatakan sebagai a = mq + r dengan 0≤ r < m. Ini berarti bahwa a –r = mq, yaitu a ≡ r (mod m). karena 0≤ r < m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu 0, 1, 2, 3,…, (m-1). Jadi, setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0, 1, 2, 3, …, (m-1).

Definisi 7.2.

Pada a ≡ r (mod m) dengan 0 ≤ r < m, r disebut sisaan terkecil dari a modulo m. untuk kkekongruenan ini, {0, 1, 2, 3, …, (m-1)} disebut himpunan sisaan positif terkecil modulo m.

Contoh 7.3.

a.       12 ≡ 2 (mod 5) karena 2 adalah sisaan terkecil dari 12 modulo 5.

b.      71 ≡ 1 (mod 2) karena 1  adalah sisaan terkecil dari 71 modulo 2.

c.       71 ≡ 2 (mod 3) karena 2 adalah sisaan terkecil dari 71 modulo 3.

d.      34 ≡ 4 (mod 5) karena 4 adalah sisaan terkecil dari 34 modulo 5.

Teorema 7.2.

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa jika a ≡ b (mod m) maka a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m. Andaikan a ≡ b (mod m) maka a ≡ r (mod m) dan b ≡ r (mod m) dengan r adalah sisaan terkecil modulo m atau 0 ≤  r < m. Karena a ≡ r (mod m) berarti a = mq +r untuk suatu q. Demikian juga, b ≡ r (mod m) berarti b = mq + r untuk suatu t. Ini berarti a dan b memiliki sisa yang sama yaitu r jika dibagi m. 

contoh:

10 ≡ (mod 4) mempunyai arti yang sama dengan 10 = 4k +  2 untuk suatu bilangan bulat k = 2 dan 10 dibagi 4 bersisia 2.

  Definisi 7.3.

Himpunan bilangan bulat  disebut system sisaan lengkap modulo m jika dan hanya jika setiap bilangan bulat adalah kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu diantara  .

Contoh:

a.       {45, -9, 12, -22, 24} adalah suatu system sisaan lengkap modulo 5 karena 45 ≡ 0 (mod 5), -9 ≡ 1 (mod 5), 12≡ 2 (mod 5), -22 ≡ 3 (mod 5),  dan 24 ≡ 4 (mod 5).

b.      {0, 1, 2, 3, 4} juga merupakan  suatu system sissan langkap modulo 5, sekaligus sebagai himpunan sisaan terkecil modulo 5.

Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah memadankan suatu bilangan bulat a dengan suatu bilangan bulat lain b, karena merupakan pemadanan, maka kekongruenan  modulo merupakan suatu relasi. Suatu relasi R disebut relasi ekuivalensi atas suatu himpunan bilangan A jika relasi itu memiliki sifat refleksi, sifat simetris dan sifat transitif.

1.      Sifat refleksif: aRa, suatu bilangan a memiliki relasi R terhadap bilangan a itu sendiri.

2.      Sifat simetris: aRb jika dan hanya jika bRa.

3.      Sifat transitef: aRb dan bRc berakibat aRc.

Teorema 7.3.

Untuk m bilangan bulat positif dan a, b, dan c bilangan bulat berlaku :

(1)   Sifat refleksif : a≡ a (mod m)

(2)   Sifat simetris: a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika b ≡ a (mod m).

(3)   Sifat transitif: jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c(mod m).

Bukti:

(1)   Karena m │0 maka m│(a-a), sehingga menurut Definisi 7.1. a ≡ a (mod m).

(2)   Jika a ≡ b(mod m) maka menurut Definiisi 7.1. m│(a-b). Menurut definisi keterbagian m│(a-b) berarti ada t  Z. sedemikian sehingga a-b = mt  b –a = m(-t) dengan –t  Z, sehingga sesuai dengan definisi keterbagian diperoleh m│(b-a). Karena m│(b-a) maka b ≡ a(mod m).

(3)   Jika a ≡ b(mod m) dan b ≡ c (mod m), maka menurut Definiisi 7.1. m│(a-b) dan m│{(a-b)+(b-c)} atau m│(a-c), sehingga a ≡ c (mod m).

Adapun vidio di bawah ini yang membantu kalian memahami konsep kekongruenan

sumber 

catatan perkuliahan mata pelajaran teori bilangan Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka